La nature fait (parfois) écho au mythique « nombre d'or » - 20minutes.fr

Valeur exacte du nombre d’or © G. Chagny & T. de la Rue via The Conversation.

Cône de pin © G. Chagny & T. de la Rue via The Conversation>.

Aster © G. Chagny & T. de la Rue via The Conversation.

Variété de marguerite © G. Chagny & T. de la Rue via The Conversation.

Début de la construction pour un angle de divergence valant 1/6 © G. Chagny & T. de la Rue via The Conversation.

Simulations pour ¼ et 1/6 © G. Chagny & T. de la Rue via The Conversation.

Simulation pour 11/23 © G. Chagny & T. de la Rue via The Conversation.

Lorsque l’angle de divergence vaut 11/23 (troisième image), 23 itérations de la rotation correspondent à 11 tours complets, donc aboutissent aussi à la direction de départ : on obtient alors 23 branches rectilignes.

Ce problème survient à chaque fois que l’on choisit un angle de divergence rationnel, c’est-à-dire qui s’écrit comme le quotient de deux nombres entiers.

Il est donc tentant de tester ce qui se passe lorsque l’angle de divergence n’est pas rationnel.

La figure suivante montre le résultat obtenu si l’on choisit un angle de divergence égal à 1/ϖ.

Simulation pour 1/ϖ © G. Chagny & T. de la Rue via The Conversation.

L’examen attentif de la figure donnée pour 1/ϖ va nous permettre de mieux comprendre les qualités attendues de l’angle de divergence pour la plante.

Or, un angle de divergence 1/3 donnerait une figure à 3 branches rectilignes, et ce qui se passe vers le centre est donc une approximation de ce comportement.

Puis, à mesure que les nouveaux fleurons sont formés, la distance au centre augmente, et approcher l’angle de divergence par 1/3 devient trop grossier.

Même si 1/ϖ n’est pas un nombre rationnel, il est loin d’être optimal, car trop d’espace est perdu sur le capitule : sur la même surface, on pourrait mettre beaucoup plus de fleurons qui donneraient plus de graines ! La surface perdue vient du fait que l’angle de divergence 1/ϖ est trop bien approché par des nombres rationnels.

Écriture de l’inverse de ϖ sous forme d’une fraction continue © G. Chagny & T. de la Rue via The Conversation?

Approximation de l’inverse de ϖ par l’une de ses réduites © G. Chagny & T. de la Rue via The Conversation

Fraction continue pour l’inverse du nombre d’or © G. Chagny & T. de la Rue via The Conversation

L’inverse du nombre d’or © G. Chagny & T. de la Rue via The Conversation

Cette théorie nous amène ainsi au choix optimum de l’angle de divergence, celui qui est le plus mal approché par des nombres rationnels : c’est l’angle dont le rapport avec un tour complet vaut l’inverse du nombre d’or, et que l’on nomme l’angle d’or

Simulation lorsque l’angle de divergence vaut l’angle d’or 1/φ © G. Chagny & T. de la Rue via The Conversation

Les spirales sur la figure de l’angle d’or correspondent aux « branches » que l’on observe dans les cas d’un angle de divergence (presque) rationnel : chaque réseau de spirales est associé à une approximation rationnelle de l’angle d’or par l’une de ses réduites